الاتصال ومبرهنة القيم الوسيطية – وجود جذر

التمرين 2 — نظرية القيم المتوسطة ووجود الحلول

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;2]$ بـ:

$f(x)=x^3-3x+1$

1. تحقق من أن $f$ متصلة على $[0;2]$.
2. احسب $f(0)$ و $f(1)$ و $f(2)$.
3. بين أنه يوجد على الأقل عدد حقيقي $c\in ]0;1[$ بحيث $f(c)=0$، وعلى الأقل عدد حقيقي $d\in ]1;2[$ بحيث $f(d)=0$. نقبل أنه يوجد أيضاً جذر في $]-2;-1[$.
4. استنتج أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الأقل حلين في $[0;2]$. هل يمكن التأكيد أن هناك حلين بالضبط؟ برر بإيجاز.