دراسة دالة بمتغير واستمرارية

التمرين 4 — الاستمرارية والمعامل

نعتبر الدالة $f_a$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

• $f_a(x)=\frac{\sin (3x)}{x}$ إذا كان $x\ne 0$
• $f_a(0)=a$

حيث $a$ معامل حقيقي.

1. احسب $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}$. سنستعمل النهاية المرجعية $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$.
2. حدد قيمة $a$ التي من أجلها تكون $f_a$ مستمرة عند $0$. سنرمز لهذه القيمة بـ $a_0$.
3. من أجل $a=a_0$، بين أن $f_{a_0}$ مستمرة على $\mathbb{R}$.
4. من أجل $a=a_0$، ادرس إشارة $f_{a_0}(x)-f_{a_0}\left(-\frac{\pi }{3}\right)$ واستنتج، باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة، أن المعادلة $f_{a_0}(x)=0$ تقبل حلا واحدا على الأقل في $\left]0;\frac{\pi }{3}\right[$.