التمرين 5 نعتبر الدالة f المعرفة بـ: f ( x ) = ( 1 + x 1 ) x + 1 x 2 من أجل x ∈ R ∗ ، x  = − 1 . بين أنه من أجل كل x ∈ R ∗ مع x  = − 1 ، يمكن كتابة: ln ( f ( x )) = x + 1 x 2 × ln ( 1 + x 1 ) . باستعمال النهاية المرجعية t → 0 lim t ln ( 1 + t ) = 1 ، احسب x → + ∞ lim ln ( f ( x )) ، ثم استنتج x → + ∞ lim f ( x ) . احسب x → − ∞ lim f ( x ) . نعرف g على ] 0 ; + ∞ [ بـ g ( x ) = f ( x ) إذا كان x > 0 و x  = − 1 ، و g ( 0 ) = ℓ . حدد قيمة ℓ لكي تكون g متصلة في 0 من جهة اليمين، بدراسة x → 0 + lim f ( x ) . بين أنه من أجل x > 0 ، f ( x ) > 0 وادرس إشارة ln ( f ( x )) − 1 لتستنتج موضع منحنى f بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة y = e ، من أجل x كبيرة.

دراسة دالة ونهاية 1^∞ وتمديد بالاتصال

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5

نعتبر الدالة $f$ المعرفة بـ:

$f (x) = (1 + \frac{1}{x})^{\frac{x ^{2}}{x + 1}}$ من أجل $x \in R^{*}$ ، $x \neq = - 1$ .

بين أنه من أجل كل $x \in R^{*}$ مع $x \neq = - 1$ ، يمكن كتابة:
$ln (f (x)) = \frac{x ^{2}}{x + 1} \times ln (1 + \frac{1}{x})$ .
باستعمال النهاية المرجعية $t \to 0 lim \frac{ln ( 1 + t )}{t} = 1$ ، احسب $x \to + \infty lim ln (f (x))$ ، ثم استنتج $x \to + \infty lim f (x)$ .
احسب $x \to - \infty lim f (x)$ .
نعرف $g$ على $] 0; + \infty [$ بـ $g (x) = f (x)$ إذا كان $x > 0$ و $x \neq = - 1$ ، و $g (0) = ℓ$ .
حدد قيمة $ℓ$ لكي تكون $g$ متصلة في $0$ من جهة اليمين، بدراسة $x \to 0^{+} lim f (x)$ .
بين أنه من أجل $x > 0$ ، $f (x) > 0$ وادرس إشارة $ln (f (x)) - 1$ لتستنتج موضع منحنى $f$ بالنسبة للمستقيم ذي المعادلة $y = e$ ، من أجل $x$ كبيرة.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، استعمل الخاصية $\ln(a^b) = b\ln(a)$ مطبقة على $f(x)$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، ضع $t = \dfrac{1}{x}$ وأظهر النسبة $\dfrac{\ln(1+t)}{t}$ لاستعمال النهاية المرجعية المعطاة.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 4، ادرس سلوك $\dfrac{x^2}{x+1}$ و $\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ عندما $x \to 0^+$؛ الحد $x^2$ يتغلب على تباعد اللوغاريتم.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، استعمل الخاصية $ln (a^{b}) = b ln (a)$ مطبقة على $f (x)$ .

بالنسبة للسؤال 2، ضع $t = \frac{1}{x}$ وأظهر النسبة $\frac{ln ( 1 + t )}{t}$ لاستعمال النهاية المرجعية المعطاة.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points