حالات عدم التعيين، المقاربات المائلة والدراسة المحلية

التمرين 3

نعتبر الدالة f المعرفة بما يلي :

$f(x)=\frac{x^2+x\cdot \ln (x)}{x-1}$ من أجل $x>0$ و $x\ne 1$.

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$. استنتج وجود مقارب مائل عند $+\infty$ إن وجد، وحدده كليا.
2. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. (نذكر أن $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)=0$.)
3. ادرس اتصال الدالة f في $x=1$ : احسب $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ وقارنها بـ $f(1)$ (غير معرفة). هل يمكن تمديد الدالة f بالاتصال في 1؟ إذا كان الجواب نعم، أعط قيمة التمديد.
4. احسب $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-(x+2)}{x-1}$. فسر هندسيا هذه النتيجة.