Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — Bac Sénégal 2023

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$.

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]0;1[$ et au moins une solution dans l'intervalle $]1;2[$.
4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;2]$.
5. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions réelles distinctes. On précisera pour chacune un intervalle de longueur $1$ la contenant.