Limites de référence et formes indéterminées

Exercice 1

On considère les fonctions suivantes définies sur leurs domaines respectifs.

1. Calculer les limites suivantes en justifiant chaque étape :

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{5x}$
   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+3x-1}{x^2-x+4}$
   3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{3x}$
   4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\times e^{-x}$

2. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{\ln (1+4x)}{2x}$ pour $x\ne 0$, et $f(0)=a$.

   1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.
   2. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 0.