Application du théorème des valeurs intermédiaires — Bac Sénégal 2023

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4

On considère la fonction f définie sur par :

  1. Montrer que f est continue sur .
  2. Calculer , , , et .
  3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'équation admet au moins trois solutions réelles distinctes, en précisant un intervalle contenant chacune d'elles.
  4. Montrer que sur l'intervalle , l'équation admet une unique solution . Donner un encadrement de à près.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer l'existence de trois solutions, commence par calculer les valeurs de $f$ aux points donnés, puis repère les intervalles où $f$ change de signe. Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique quand la fonction est continue et passe du négatif au positif (ou inversement).
2 Indice 2
Pour l'unicité sur $[0 ; 1]$, calcule d'abord la dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3$. Étudie son signe sur $[0 ; 1]$ pour montrer que $f$ est strictement monotone. Une fonction strictement monotone ne peut s'annuler qu'une seule fois sur un intervalle.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer l'existence de trois solutions, commence par calculer les valeurs de aux points donnés, puis repère les intervalles où change de signe. Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique quand la fonction est continue et passe du négatif au positif (ou inversement).

Pour l'unicité sur , calcule d'abord la dérivée . Étudie son signe sur pour montrer que est strictement monotone. Une fonction strictement monotone ne peut s'annuler qu'une seule fois sur un intervalle.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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