Étude de fonction avec TVI et asymptotes

Exercice — Limites, Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x^2-x+1)\times e^x-x-1$

Partie A — Étude des limites et asymptotes

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement chaque résultat.
2. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$. Préciser la position de la courbe par rapport à $(D)$ au voisinage de $-\infty$.

Partie B — Continuité et dérivabilité

3. Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. On admettra que $f^{\prime }(x)=(x^2+x)\times e^x-1$.
5. Montrer que l'équation $f^{\prime }(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]-1;0[$. On posera $g(x)=f^{\prime }(x)$ et on vérifiera les hypothèses nécessaires.

Partie C — Application du TVI

6. Vérifier que $f(0)=0$ et $f(-2)=5e^{-2}+1>0$. Calculer $f(-1)$.
7. Dresser le tableau de signe de $f^{\prime }(x)$ en admettant que $f^{\prime }$ s'annule exactement en deux points $\alpha \in ]-1;0[$ et $\beta =0$, et que $f^{\prime }$ est négative sur $]\alpha ;0[$.
8. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution réelle, que l'on notera $x_0$, et montrer que $x_0\in ]-1;0[$.