Étude complète : continuité, asymptotes et TVI appliqué

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\frac{x^2\cdot e^x}{e^x-1}$ pour $x\ne 0$.

On note $D_f$ le domaine de définition de $f$.

1. Domaine de définition. Déterminer $D_f$.

2. Limites aux bornes.

   1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire sur le comportement de $f$ en $0$ ?
   2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.
   3. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.

3. Prolongement par continuité. Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$. On notera $\tilde{f}$ la fonction prolongée et on précisera $\tilde{f}(0)$.

4. Asymptotes.

   1. Montrer que la droite $(D_1)$ d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$. (On admet que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2{e}^x}{e^x-1}-x=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x(x-e^x+1)}{e^x-1}$.)
   2. Déterminer l'asymptote horizontale éventuelle en $-\infty$.

5. Application du TVI. On admet que $\tilde{f}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $\tilde{f}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Montrer que l'équation $\tilde{f}(x)=3$ admet une unique solution réelle $\beta$, et que $\beta \in ]1;2[$. (On calculera $\tilde{f}(1)$ et $\tilde{f}(2)$ numériquement, en utilisant $e\approx 2,718$ et $e^2\approx 7,389$.)