Exercice 4 On considère la fonction f définie sur un voisinage épointé de 0 par : f ( x ) = ( x sin x ) x 2 1 pour x  = 0 . On admet que x sin x → 1 quand x → 0 , que ln ( 1 + u ) ∼ u quand u → 0 , et le développement sin x = x − 6 x 3 + o ( x 3 ) . 1) Justifier que f ( x ) est bien définie au voisinage de 0 . 2) On pose L = x → 0 lim f ( x ) . Exprimer ln ( f ( x )) et montrer que ln ( f ( x )) = x 2 1 ln ( 1 + x sin x − x ) . 3) En déduire x → 0 lim ln ( f ( x )) puis la valeur de L .

Forme indéterminée 1^∞ et prolongement par continuité

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 On considère la fonction

f

définie sur un voisinage épointé de

0

par :

f (x) = (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{x ^{2}}}

pour

x \neq = 0

. On admet que

\frac{sin x}{x} \to 1

quand

x \to 0

, que

ln (1 + u) \sim u

quand

u \to 0

, et le développement

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

. 1) Justifier que

f (x)

est bien définie au voisinage de

0

. 2) On pose

L = x \to 0 lim f (x)

. Exprimer

ln (f (x))

et montrer que

ln (f (x)) = \frac{1}{x ^{2}} ln (1 + \frac{sin x - x}{x})

. 3) En déduire

x \to 0 lim ln (f (x))

puis la valeur de

L

Indices

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1 Indice 1

Pour lever l'indétermination de la forme $1^{\infty}$, pense à passer par le logarithme : calcule d'abord $\ln(f(x))$ en utilisant les propriétés du logarithme d'une puissance.

2 Indice 2

Utilise le développement limité de $\sin x$ pour trouver un équivalent de $\dfrac{\sin x - x}{x}$, puis applique l'équivalent $\ln(1+u) \sim u$ pour simplifier $\ln(f(x))$.

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La méthode — par où commencer

Pour lever l'indétermination de la forme $1^{\infty}$ , pense à passer par le logarithme : calcule d'abord $ln (f (x))$ en utilisant les propriétés du logarithme d'une puissance.

Utilise le développement limité de $sin x$ pour trouver un équivalent de $\frac{sin x - x}{x}$ , puis applique l'équivalent $ln (1 + u) \sim u$ pour simplifier $ln (f (x))$ .

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