Formes indéterminées, asymptotes obliques et étude locale

Exercice 3

On considère la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{x^2+x\cdot \ln (x)}{x-1}$ pour $x>0$ et $x\ne 1$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$. En déduire la présence éventuelle d'une asymptote oblique en $+\infty$, et déterminer-la entièrement.
2. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. (On rappelle que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)=0$.)
3. Étudier la continuité de f en $x=1$ : calculer $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ et comparer à $f(1)$ (non définie). Peut-on prolonger f par continuité en 1 ? Si oui, donner la valeur du prolongement.
4. Calculer $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-(x+2)}{x-1}$. Interpréter géométriquement ce résultat.