تطبيق مبرهنة القيم الوسيطية

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4

نعتبر الدالة المعرفة على بما يلي:

  1. بين أن متصلة على .
  2. احسب و و و و .
  3. بتطبيق مبرهنة القيم الوسيطية، بين أن المعادلة تقبل على الأقل ثلاثة حلول حقيقية مختلفة، مع تحديد مجال يحتوي على كل منها.
  4. بين أنه على المجال ، المعادلة تقبل حلاً وحيدًا . أعط تأطيرًا للعدد بدقة .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour montrer l'existence de trois solutions, commence par calculer les valeurs de $f$ aux points donnés, puis repère les intervalles où $f$ change de signe. Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique quand la fonction est continue et passe du négatif au positif (ou inversement).
2 الإرشاد 2
Pour l'unicité sur $[0 ; 1]$, calcule d'abord la dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3$. Étudie son signe sur $[0 ; 1]$ pour montrer que $f$ est strictement monotone. Une fonction strictement monotone ne peut s'annuler qu'une seule fois sur un intervalle.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer l'existence de trois solutions, commence par calculer les valeurs de aux points donnés, puis repère les intervalles où change de signe. Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique quand la fonction est continue et passe du négatif au positif (ou inversement).

Pour l'unicité sur , calcule d'abord la dérivée . Étudie son signe sur pour montrer que est strictement monotone. Une fonction strictement monotone ne peut s'annuler qu'une seule fois sur un intervalle.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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