دراسة دالة مع مبرهنة القيم الوسيطية والمقاربات

تمرين — النهايات، الاستمرارية ونظرية القيم المتوسطة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=(x^2-x+1)\times e^x-x-1$

الجزء A — دراسة النهايات والمقاربات

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. فسّر بيانياً كل نتيجة.
2. بيّن أن المستقيم $(D)$ ذا المعادلة $y=-x-1$ مقارب لمنحنى $f$ عند $-\infty$. حدد موضع المنحنى بالنسبة لـ $(D)$ في جوار $-\infty$.

الجزء B — الاستمرارية والاشتقاقية

3. برر أن $f$ مستمرة على $\mathbb{R}$.
4. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in \mathbb{R}$. نقبل أن $f^{\prime }(x)=(x^2+x)\times e^x-1$.
5. بيّن أن المعادلة $f^{\prime }(x)=0$ تقبل حلاً واحداً على الأقل في المجال $]-1;0[$. نضع $g(x)=f^{\prime }(x)$ ونتحقق من الفرضيات الضرورية.

الجزء C — تطبيق نظرية القيم المتوسطة

6. تحقق من أن $f(0)=0$ و $f(-2)=5e^{-2}+1>0$. احسب $f(-1)$.
7. أنشئ جدول إشارة $f^{\prime }(x)$ بقبول أن $f^{\prime }$ تنعدم بالضبط في نقطتين $\alpha \in ]-1;0[$ و $\beta =0$، وأن $f^{\prime }$ سالبة على $]\alpha ;0[$.
8. استنتج أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلاً حقيقياً وحيداً بالضبط، نرمز له بـ $x_0$، وبيّن أن $x_0\in ]-1;0[$.