التمرين 5 لتكن f الدالة المعرفة بـ: f ( x ) = e x − 1 x 2 ⋅ e x من أجل x  = 0 . نرمز بـ D f لمجموعة تعريف f . مجموعة التعريف. حدد D f . النهايات عند الحدود. احسب x → 0 + lim f ( x ) و x → 0 − lim f ( x ) . ماذا يمكن استنتاجه حول سلوك f عند 0 ؟ احسب x → + ∞ lim f ( x ) . فسر بيانياً. احسب x → − ∞ lim f ( x ) . فسر بيانياً. الامتداد بالاستمرارية. بين أن f تقبل امتداداً بالاستمرارية عند 0 . نرمز بـ f ~ للدالة الممتدة ونحدد f ~ ( 0 ) . المقاربات. بين أن المستقيم ( D 1 ) ذا المعادلة y = x هو مقارب مائل لمنحنى f في جوار + ∞ . (نقبل أن x → + ∞ lim e x − 1 x 2 e x − x = x → + ∞ lim e x − 1 x ( x − e x + 1 ) .) حدد المقارب الأفقي المحتمل عند − ∞ . تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة. نقبل أن f ~ قابلة للاشتقاق على R وأن f ~ متزايدة تماماً على R . بين أن المعادلة f ~ ( x ) = 3 تقبل حلاً وحيداً حقيقياً β ، وأن β ∈ ] 1 ; 2 [ . (سنحسب f ~ ( 1 ) و f ~ ( 2 ) عددياً، باستعمال e ≈ 2 , 718 و e 2 ≈ 7 , 389 .)

دراسة شاملة: اتصال، مقاربات ومبرهنة القيم الوسيطية

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 5

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ:

$f (x) = \frac{x ^{2} \cdot e ^{x}}{e ^{x} - 1}$ من أجل $x \neq = 0$ .

نرمز بـ $D_{f}$ لمجموعة تعريف $f$ .

مجموعة التعريف. حدد $D_{f}$ .
النهايات عند الحدود.
1. احسب $x \to 0^{+} lim f (x)$ و $x \to 0^{-} lim f (x)$ . ماذا يمكن استنتاجه حول سلوك $f$ عند $0$ ؟
2. احسب $x \to + \infty lim f (x)$ . فسر بيانياً.
3. احسب $x \to - \infty lim f (x)$ . فسر بيانياً.
الامتداد بالاستمرارية. بين أن $f$ تقبل امتداداً بالاستمرارية عند $0$ . نرمز بـ $\tilde{f}$ للدالة الممتدة ونحدد $\tilde{f} (0)$ .
المقاربات.
1. بين أن المستقيم $(D_{1})$ ذا المعادلة $y = x$ هو مقارب مائل لمنحنى $f$ في جوار $+ \infty$ . (نقبل أن $x \to + \infty lim \frac{x ^{2} e ^{x}}{e ^{x} - 1} - x = x \to + \infty lim \frac{x ( x - e ^{x} + 1 )}{e ^{x} - 1}$ .)
2. حدد المقارب الأفقي المحتمل عند $- \infty$ .
تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة. نقبل أن $\tilde{f}$ قابلة للاشتقاق على $R$ وأن $\tilde{f}$ متزايدة تماماً على $R$ . بين أن المعادلة $\tilde{f} (x) = 3$ تقبل حلاً وحيداً حقيقياً $β$ ، وأن $β \in] 1; 2 [$ . (سنحسب $\tilde{f} (1)$ و $\tilde{f} (2)$ عددياً، باستعمال $e \approx 2, 718$ و $e^{2} \approx 7, 389$ .)

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من أجل المجال، ابحث عن النقطة التي ينعدم عندها المقام $e^x-1$. من أجل النهايات عند 0، حلل $f(x)$ إلى $x e^x \cdot \dfrac{x}{e^x-1}$ واستعمل النهاية المعروفة $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$.

2 الإرشاد 2

عند $+\infty$، اقسم البسط والمقام على $e^x$؛ عند $-\infty$، لا تقسم على $e^x$ بل استعمل النمو المقارَن مباشرة على $x^2e^x$.

3 الإرشاد 3

من أجل المقارب المائل عند $+\infty$، ادرس إشارة ونهاية $f(x)-x$ باستعمال العبارة المعطاة؛ ومن أجل مبرهنة القيم الوسيطية، احسب $\tilde f(1)$ و $\tilde f(2)$ بالقيم التقريبية المعطاة لـ $e$ و $e^2$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

من أجل المجال، ابحث عن النقطة التي ينعدم عندها المقام $e^{x} - 1$ . من أجل النهايات عند 0، حلل $f (x)$ إلى $x e^{x} \cdot \frac{x}{e ^{x} - 1}$ واستعمل النهاية المعروفة $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ .

عند $+ \infty$ ، اقسم البسط والمقام على $e^{x}$ ؛ عند $- \infty$ ، لا تقسم على $e^{x}$ بل استعمل النمو المقارَن مباشرة على $x^{2} e^{x}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

دراسة دالة مع مبرهنة القيم الوسيطية والمقاربات كل تمارين الدرس حالة عدم التعيين 1^∞ وتمديد بالاتصال

دراسة شاملة: اتصال، مقاربات ومبرهنة القيم الوسيطية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

دراسة شاملة: اتصال، مقاربات ومبرهنة القيم الوسيطية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯