حالة عدم التعيين 1^∞ وتمديد بالاتصال

التمرين 4

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على ${\mathbb{R}}^{\ast }$ بـ:

$f(x)={\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}$ من أجل $x\ne 0$.

في كل التمرين، نقبل أن $\frac{\sin x}{x}\to 1$ عندما $x\to 0$، وأن $\ln (1+u)\sim u$ عندما $u\to 0$.

1. برر أن $f(x)$ معرفة جيدا في جوار $0$ (أي أن التعبير معرف من أجل $x$ صغير بما فيه الكفاية وغير منعدم).
2. نضع $L=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. لحساب $L$، ندرس $\underset{x\to 0}{\lim }\ln (f(x))$.
   1. عبر عن $\ln (f(x))$ بدلالة $x$.
   2. بين أن $\ln (f(x))=\frac{1}{x^2}\times \ln \left(1+\frac{\sin x-x}{x}\right)$.
   3. نقبل التطوير $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ في جوار $0$. استنتج أن $\frac{\sin x-x}{x}\sim -\frac{x^2}{6}$ عندما $x\to 0$.
   4. باستعمال $\ln (1+u)\sim u$ من أجل $u\to 0$، احسب $\underset{x\to 0}{\lim }\ln (f(x))$.
   5. استنتج $L=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.
3. عرّف الامتداد بالاستمرارية $\tilde{f}$ للدالة $f$ في $0$. هل الدالة $\tilde{f}$ المعرفة هكذا متصلة على $\mathbb{R}$ ؟
4. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ بالتمييز حسب قيم $\frac{\sin (x)}{x}$ في جوار $+\infty$ (سنلاحظ أن $\frac{\sin x}{x}\to 0$ عندما $x\to +\infty$).