استمرارية مجزأة، مقاربات ومبرهنة القيم الوسيطية

التمرين 6

نعتبر الدالة $h$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$h(x)=\sqrt{x^2+x}-x$ إذا كان $x\ge 1$

$h(x)=\frac{a\cdot e^x+b}{e^x+1}$ إذا كان $x<1$

حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان.

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$. إرشاد: اضرب في الكمية المرافقة.
2. بين أن $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)=b$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$ للفرع $x<1$ هي $a$. استنتج المقاربات الأفقية للفرع $x<1$ حسب قيم $a$ و $b$.
3. لكي تكون $h$ متصلة عند $x=1$، أنشئ جملة من معادلتين تربطان $a$ و $b$، باستعمال أيضاً الشرط $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }h(x)=h(1)$. حل هذه الجملة.
4. بقيم $a$ و $b$ التي وجدتها، بين أن المعادلة $h(x)=\frac{3}{4}$ تقبل حلاً واحداً على الأقل في المجال $]1;+\infty [$.