Limite en forme 1 puissance infinie et application

Exercice 4

On considère les fonctions suivantes :

Partie A

Soit $\phi (x)=(1+\sin (2x){)}^{1÷x}$ définie au voisinage de 0 pour $x\ne 0$.

1. Montrer que $\phi (x)=e^{\ln (1+\sin (2x))÷x}$.
2. En utilisant les limites de référence $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1$ et $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin (u)}{u}=1$, calculer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\sin (2x))}{x}$.
3. En déduire $\underset{x\to 0}{\lim }\phi (x)$.

Partie B

Soit $\psi (x)=(\cos (x){)}^{1÷x^2}$ définie pour $x\ne 0$ au voisinage de 0.

4. En posant $u=\cos (x)-1$ (remarquer que $u\to 0$ quand $x\to 0$), et en utilisant l'écriture $\psi (x)=e^{\ln (\cos (x))÷x^2}$, calculer $\underset{x\to 0}{\lim }\psi (x)$. On admet que $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1$ et que $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)-1}{x^2}=-\frac{1}{2}$.