Continuité par morceaux, asymptotes et TVI appliqué

Exercice 6

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$h(x)=\sqrt{x^2+x}-x$ si $x\ge 1$

$h(x)=\frac{a\cdot e^x+b}{e^x+1}$ si $x<1$

où $a$ et $b$ sont deux réels.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$. Indication : multiplier par la quantité conjuguée.
2. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)=b$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$ pour la branche $x<1$ est $a$. En déduire les asymptotes horizontales de la branche $x<1$ selon les valeurs de $a$ et $b$.
3. Pour que $h$ soit continue en $x=1$, établir un système de deux équations liant $a$ et $b$, en utilisant aussi la condition $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }h(x)=h(1)$. Résoudre ce système.
4. Avec les valeurs de $a$ et $b$ trouvées, montrer que l'équation $h(x)=\frac{3}{4}$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]1;+\infty [$.