الاتصال والاشتقاق في نقطة f(0)=1

Difficile
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Énoncé

لتكن f الدالة المعرفة بما يلي :

   إذا كان

  1. بين أن f متصلة في 0.
  2. هل f قابلة للاشتقاق في 0 ؟ إذا كانت كذلك، أحسب .
  3. أعط معادلة المماس لمنحنى الدالة f في النقطة ذات الأفصول 0.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour la continuité, utilise la limite usuelle $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$, qui correspond à la dérivée de $e^x$ en $0$.
2 الإرشاد 2
Pour la dérivabilité, forme le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ et simplifie-le en une seule fraction en $x^2$ au dénominateur.
3 الإرشاد 3
Utilise le développement limité $e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ pour calculer la limite du taux d'accroissement, puis applique la formule de la tangente $y = f(0) + f'(0)(x-0)$.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour la continuité, utilise la limite usuelle , qui correspond à la dérivée de en .

Pour la dérivabilité, forme le taux d'accroissement et simplifie-le en une seule fraction en au dénominateur.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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دراسة دالة نهاية مائلة كل تمارين الدرس مسألة بكالوريا — دراسة الدالة f(x) = √x - ln(x)