Problème BAC — Étude de f(x) = √x - ln(x)

Soit $f(x)=\sqrt{x}-\ln (x)$ définie sur $]0,+\infty [$.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ et déterminer le minimum de $f$.
4. En déduire que $f(x)\ge 1$ pour tout $x>0$, avec égalité en $x=1$.