نص التمرين ليكن n ∈ N ∗ ثابتاً و f n : [ 0 ; 1 ] → R معرفة بـ: f n ( x ) = x n − ( 1 − x ) 2 . بيّن أن f n متزايدة تماماً على [ 0 ; 1 ] . بيّن أنه يوجد عنصر وحيد α n ∈ ] 0 ; 1 [ بحيث f n ( α n ) = 0 .

Existence et unicité d'une racine (TVI + stricte monotonie)

Intermédiaire

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نص التمرين

ليكن $n \in N^{*}$ ثابتاً و $f_{n} : [0; 1] \to R$ معرفة بـ:

$f_{n} (x) = x^{n} - (1 - x)^{2} .$

بيّن أن $f_{n}$ متزايدة تماماً على $[0; 1]$ .
بيّن أنه يوجد عنصر وحيد $α_{n} \in] 0; 1 [$ بحيث $f_{n} (α_{n}) = 0$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $f_n$ est strictement croissante, décompose-la en deux morceaux : étudie séparément le comportement de $x^n$ et de $-(1-x)^2$ sur $[0;1]$.

2 الإرشاد 2

Pour l'existence de $\alpha_n$, commence par calculer $f_n(0)$ et $f_n(1)$. Que remarques-tu sur leurs signes ? Pense ensuite au théorème des valeurs intermédiaires.

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Pour montrer que $f_{n}$ est strictement croissante, décompose-la en deux morceaux : étudie séparément le comportement de $x^{n}$ et de $- (1 - x)^{2}$ sur $[0; 1]$ .

Pour l'existence de $α_{n}$ , commence par calculer $f_{n} (0)$ et $f_{n} (1)$ . Que remarques-tu sur leurs signes ? Pense ensuite au théorème des valeurs intermédiaires.

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