حل معادلة في ℂ وتأويل هندسي

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 3 — معادلة عقدية وهندسة

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر (O, u⃗, v⃗)، نربط بكل نقطة M لحقها z.

نضع j = .

  1. بين أن j جذر تكعيبي للوحدة، أي أن . استنتج أن .
  2. اكتب j و على الشكل الجبري.
  3. نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي و و .
    أ) احسب و و .
    ب) ماذا تستنتج بخصوص المثلث ABC؟
  4. احسب لحق مركز ثقل G للمثلث ABC. ماذا تلاحظ؟

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour montrer que $j^3 = 1$, utilise directement les propriétés de l'exponentielle complexe : calcule $\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^3$ en appliquant la règle $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.
2 الإرشاد 2
Pour les formes algébriques, applique la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Calcule $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ en plaçant l'angle sur le cercle trigonométrique.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que , utilise directement les propriétés de l'exponentielle complexe : calcule en appliquant la règle .

Pour les formes algébriques, applique la formule d'Euler : . Calcule et en plaçant l'angle sur le cercle trigonométrique.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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صورة هندسية — مجموعة النقط في المستوى العقدي كل تمارين الدرس z₁=3+2i و z₂=1-i: عمليات، المرافق وخارج القسمة