صيغة موافر، الخطية وجذور الوحدة

التمرين 4 — صيغة موافر والجذور التكعيبية للوحدة

الجزء A — تطبيق صيغة موافر

1. باستخدام صيغة موافر وصيغة ثنائي الحد لنيوتن، بين أن:
   cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$
   sin(3$\theta$) = 3sin $\theta$ − 4si$n^3$$\theta$
2. استنتج القيمة المضبوطة لـ cos($\pi$$÷$9) علما أنه يحقق المعادلة 8$x^3$ − 6x − 1 = 0 (نقبل هذه الحقيقة).

الجزء B — الجذور التكعيبية للوحدة

3. حل المعادلة $z^3$ = 1 في $\mathbb{C}$. نرمز للجذور بـ 1 و j و j̄.
4. بين أن j هو جذر لكثير الحدود P(z) = $z^2$ + z + 1، ثم عمل P(z) في $\mathbb{C}$.
5. بين أن 1 + j + $j^2$ = 0 وأن $j^3$ = 1.
6. احسب (1 − j)(1 − $j^2$). استنتج قيمة |(1 − j)(1 − $j^2$)|.