معادلة من الدرجة الثانية في ℂ وجذورها العقدية

التمرين 3 — المعادلات في $\mathbb{C}$

الجزء A — الجذر التربيعي لعدد عقدي

نبحث عن الجذور التربيعية للعدد العقدي w = −7 + 24i، أي الأعداد العقدية z = a + bi (a, b $\in$ $\mathbb{R}$) بحيث $z^2$ = w.

1. بَنشر $z^2$، بيّن أن a و b يحققان النظمة التالية:
   $a^2$ − $b^2$ = −7 و 2ab = 24 و $a^2$ + $b^2$ = |w|.
2. احسب |w|، ثم حل النظمة لتحديد a و b.
3. استنتج الجذرين التربيعيين للعدد w.

الجزء B — معادلة من الدرجة الثانية

نعتبر المعادلة (E) : $z^2$ − $(3+i)z+(4+3i)=0$.

4. احسب المميز $\Delta$ = $(3+i{)}^2$ − $4(4+3i)$.
5. باستخدام نتيجة الجزء A (أو بإعادة الحساب)، حدد الجذور التربيعية للعدد $\Delta$.
6. حل المعادلة (E) في $\mathbb{C}$.