تحويل هندسي ومجموعة نقط في ℂ

التمرين 5 — التحويل والمحل الهندسي

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, u⃗, v⃗)، نعتبر التحويل f الذي يربط كل نقطة M ذات اللاحق z $\ne$ i بالنقطة M' ذات اللاحق z' المعرف بما يلي:

z' = (z + 1) $÷$ (z − i)

1. حدد لاحق النقطة M بحيث f(M) = M (النقط الصامدة للتحويل f). نحل المعادلة z = (z+1)$÷$(z−i) في $\mathbb{C}$.
2. لتكن M نقطة بحيث z = x + iy مع x, y $\in$ $\mathbb{R}$. بين أن :
   Re(z') = ($x^2$ + $y^2$ − y + x) $÷$ ($x^2$ + (y−1${)}^2$)
   Im(z') = (−$x^2$ − $y^2$ + y + x) $÷$ ($x^2$ + (y−1${)}^2$)
3. نرمز بـ Γ إلى مجموعة النقط M بحيث Re(z') = Im(z'). بين أن Γ مستقيم يجب تحديد معادلته الديكارتية.
4. نرمز بـ $\Delta$ إلى مجموعة النقط M بحيث |z'| = 1. بين أن $\Delta$ دائرة يجب تحديد مركزها وشعاعها.