Racines n-ièmes de l'unité et polygone régulier

Exercice 5 — Racines 6èmes de l'unité et hexagone régulier

On note $j=e^{i2\pi /6}=e^{i\pi /3}$ et on désigne par $z_k=e^{ik\pi /3}$ pour $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$ les six racines 6èmes de l'unité.

Partie A — Étude algébrique

1. Montrer que $z_k$ pour $k=0,1,2,3,4,5$ sont bien les six racines de $z^6=1$ en vérifiant que $z_k^6=1$ pour tout $k$.
2. Donner la forme algébrique $a+bi$ de chacune des six racines $z_k$.
3. Montrer que la somme $S=z_0+z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0$. (On pourra utiliser les relations de Viète ou la somme d'une suite géométrique.)
4. Calculer le produit $P=z_0\times z_1\times z_2\times z_3\times z_4\times z_5$. (On pourra utiliser les relations de Viète.)

Partie B — Géométrie

Dans le plan complexe, on note $A_k$ le point d'affixe $z_k$ pour $k=0,1,2,3,4,5$.

5. Montrer que les six points $A_k$ sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
6. Calculer la distance $A_0{A}_1=|z_1-z_0|$. Que représente cette distance pour l'hexagone ?
7. Montrer que les diagonales principales (reliant deux sommets opposés) de l'hexagone ont toutes la même longueur, égale à 2.

Partie C — Application

8. En déduire que $\cos (\pi /3)+\cos (2\pi /3)+\cos (\pi )+\cos (4\pi /3)+\cos (5\pi /3)+\cos (0)=0$, puis retrouver la valeur de $\cos (\pi /3)$.