Transformation géométrique et ensemble de points dans ℂ

Exercice 5 — Transformation et lieu géométrique. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z\ne i$ associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ définie par : $z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$. 1. Déterminer l'affixe des points fixes de $f$ (on résoudra $z=\frac{z+1}{z-i}$ dans $\mathbb{C}$). 2. Soit $M$ un point tel que $z=x+iy$ avec $x,y\in \mathbb{R}$. Montrer que $\mathrm{Re}(z^{\prime })=\frac{x^2+y^2+x-y}{x^2+(y-1{)}^2}$ et $\mathrm{Im}(z^{\prime })=\frac{x-y+1}{x^2+(y-1{)}^2}$. 3. On note $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ (d'affixe $z\ne i$) tels que $\mathrm{Re}(z^{\prime })=\mathrm{Im}(z^{\prime })$. Montrer que $\Gamma$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, privé du point d'affixe $i$.