z₁=3+4i, z₂=1-2i : opérations et conjugué

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Calculer $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
4. Déterminer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1÷z_2|$, puis vérifier la relation $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.