الجذور النونية للوحدة والمضلع المنتظم

التمرين 5 — الجذور السادسة للوحدة وسداسي الأضلاع المنتظم

نرمز بـ $j=e^{i2\pi /6}=e^{i\pi /3}$ ونسمي $z_k=e^{ik\pi /3}$ لكل $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$ الجذور السادسة للوحدة.

الجزء A — دراسة جبرية

1. بين أن $z_k$ لكل $k=0,1,2,3,4,5$ هي بالفعل الجذور الستة للمعادلة $z^6=1$ بالتحقق من أن $z_k^6=1$ لكل $k$.
2. أعط الشكل الجبري $a+bi$ لكل من الجذور الستة $z_k$.
3. بين أن المجموع $S=z_0+z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0$. (يمكن استعمال علاقات Viète أو مجموع متتالية هندسية.)
4. احسب الجداء $P=z_0\times z_1\times z_2\times z_3\times z_4\times z_5$. (يمكن استعمال علاقات Viète.)

الجزء B — هندسة

في المستوى العقدي، نرمز بـ $A_k$ النقطة ذات اللحق $z_k$ لكل $k=0,1,2,3,4,5$.

5. بين أن النقط الست $A_k$ هي رؤوس سداسي أضلاع منتظم محاط بالدائرة التي مركزها $O$ وشعاعها 1.
6. احسب المسافة $A_0{A}_1=|z_1-z_0|$. ماذا تمثل هذه المسافة بالنسبة لسداسي الأضلاع؟
7. بين أن الأقطار الرئيسية (التي تربط رأسين متقابلين) لسداسي الأضلاع لها نفس الطول، ويساوي 2.

الجزء C — تطبيق

8. استنتج أن $\cos (\pi /3)+\cos (2\pi /3)+\cos (\pi )+\cos (4\pi /3)+\cos (5\pi /3)+\cos (0)=0$, ثم استنتج قيمة $\cos (\pi /3)$.