الشكل الأسي، صيغة موافر والمكاملة الخطية

التمرين 4 — صيغة موافر والتعبيرات المثلثية

الجزء A — تطبيق صيغة موافر

1. باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن، قم بنشر (cos $\theta$ + i sin $\theta$${)}^3$، ثم بتطبيق صيغة موافر، أثبت الصيغتين التاليتين:
   • cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$
   • sin(3$\theta$) = 3sin $\theta$ − 4si$n^3$$\theta$

الجزء B — تطبيق عددي

2. استنتج من الصيغة cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$ القيمة المضبوطة لـ cos($\pi$/9) بملاحظة أن cos($\pi$/3) = 1/2، ثم بين أن cos($\pi$/9) هو جذر لثلاثية الحدود 8$x^3$ − 6x − 1.
3. باستخدام sin(3$\theta$) = 3sin $\theta$ − 4si$n^3$$\theta$، احسب sin($\pi$/18) علماً أن sin($\pi$/6) = 1/2. بين أن sin($\pi$/18) هو جذر لـ 8$x^3$ − 6x + 1.

الجزء C — مجموع جيوب التمام

4. نضع S = cos($\pi$/9) + cos(5$\pi$/9) + cos(7$\pi$/9). باستخدام الجذور التكعيبية للوحدة أو أي طريقة أخرى، بين أن S = 0.