Puissances, suites et module dans ℂ — problème complet

Exercice 6 — Suite complexe, module et argument. On considère $z_0=1+i$ et la suite $(z_n)$ définie par $z_{n+1}=(1+i)z_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Partie A — 1) Écrire $z_0$ sous forme exponentielle. 2) Montrer par récurrence que $z_n=(\sqrt{2}{)}^{n+1}{e}^{i(n+1)\pi /4}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. 3) En déduire le module et un argument de $z_n$. 4) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $z_n$ réel ? imaginaire pur ? Partie B — On pose $S_n=z_0+z_1+\dots +z_n$. 5) Montrer que $(z_n)$ est géométrique. 6) Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.