Forme exponentielle, formule de Moivre et linéarisation

Exercice 4 — Formule de Moivre et expressions trigonométriques

Partie A — Application de la formule de Moivre

1. En développant (cos $\theta$ + i sin $\theta$${)}^3$ à l'aide du binôme de Newton, puis en appliquant la formule de Moivre, établir les formules :
   • cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$
   • sin(3$\theta$) = 3sin $\theta$ − 4si$n^3$$\theta$

Partie B — Application numérique

2. Déduire de la formule cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$ la valeur exacte de cos($\pi$/9) en remarquant que cos($\pi$/3) = $\frac{1}{2}$, puis montrer que cos($\pi$/9) est racine du trinôme 8$x^3$ − 6x − 1.
3. En utilisant sin(3$\theta$) = 3sin $\theta$ − 4si$n^3$$\theta$, calculer sin($\pi$/18) sachant que sin($\pi$/6) = 1/2. Montrer que sin($\pi$/18) est racine de 8$x^3$ − 6x + 1.

Partie C — Somme de cosinus

4. On pose S = cos($\pi$/9) + cos(5$\pi$/9) + cos(7$\pi$/9). En utilisant les racines cubiques de l'unité ou tout autre raisonnement, montrer que S = 0.