Transformation du plan complexe et points fixes

Exercice 6 — Transformation du plan et lieu géométrique

Dans le plan complexe d'origine O, on considère la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par :

z' = (1 + i)z − 2 + 2i

Partie A — Étude de la transformation

1. Déterminer les points fixes de f, c'est-à-dire les points M tels que f(M) = M (z' = z). On note F le point fixe obtenu.
2. On pose Z = z − $z_F$ et Z' = z' − $z_F$, où $z_F$ est l'affixe de F. Montrer que Z' = (1 + i)Z. En déduire la nature géométrique de f (on précisera le centre, le rapport et l'angle de la transformation).
3. Calculer |1 + i| et arg(1 + i). En déduire que f est une similitude directe. Donner son rapport k et son angle $\alpha$.

Partie B — Image d'un ensemble

4. Déterminer l'image par f du cercle (C) de centre O et de rayon 1, d'équation |z| = 1. On donnera l'équation de l'image sous la forme |z' − a| = r et on précisera le centre et le rayon.
5. Soit D le point d'affixe $z_D$ = 2. Calculer z'_D = f($z_D$). Vérifier que D' = f(D) est sur l'image du cercle (C).

Partie C — Itération

6. On définit la suite ($z_n$) par $z_0$ = 0 et z_{n+1} = (1 + i)$z_n$ − 2 + 2i pour tout n $\in$ $\mathbb{N}$. Montrer que la suite ($Z_n$) définie par $Z_n$ = $z_n$ − $z_F$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
7. En déduire l'expression de $z_n$ en fonction de n. Étudier la convergence de la suite ($z_n$).