Transformations géométriques dans le plan complexe

Exercice 5 — Géométrie dans le plan complexe

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u⃗, v⃗). On considère les points A, B, C d'affixes respectives :

$z_A=2$, $z_B=2i$, $z_C=1+i\sqrt{3}$

Partie A — Étude du triangle ABC

1. Calculer $|z_B-z_A|$, $|z_C-z_A|$ et $|z_C-z_B|$.
2. Calculer le rapport $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ et en déduire la nature du triangle ABC (préciser les angles).
3. Déterminer l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC.

Partie B — Rotation et image

On considère la rotation r de centre $\Omega$ d'affixe $z_{\Omega }=1+i$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

4. Rappeler la formule donnant l'affixe z' de l'image d'un point d'affixe z par r.
5. Déterminer l'affixe de $A^{\prime }=r(A)$, $B^{\prime }=r(B)$ et $C^{\prime }=r(C)$.
6. Montrer que $\Omega$ est le milieu de [AA'] et de [BB']. Est-ce une coïncidence ? Justifier.

Partie C — Lieu géométrique

7. Soit M un point d'affixe z. On pose $Z=\frac{z-2}{z-2i}$. Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit un réel, puis l'ensemble des points M tels que $|Z|=1$.