Équation du second degré dans ℂ et interprétation géométrique — Bac Côte d'Ivoire 2023

Exercice 3 — Équation complexe et géométrie

Dans le plan complexe, on repère chaque point M par son affixe z.

Partie A — Résolution d'équation

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (E) : $z^2-2z+5=0$. On notera $z_1$ et $z_2$ les deux racines avec $\text{Im}(z_1)>0$.
2. Vérifier que $z_1+z_2=2$ et $z_1\times z_2=5$ (relations de Viète).
3. Calculer $|z_1|$ et $\arg (z_1)$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$.

Partie B — Géométrie

On pose A d'affixe $z_1$ et B d'affixe $z_2$.

4. Calculer la distance $AB=|z_1-z_2|$.
5. Déterminer l'affixe du milieu I du segment [AB].
6. Montrer que le triangle OAB, où O est l'origine, est isocèle. Préciser en quel sommet.