Formule de Moivre et linéarisation de cos³θ — Bac Côte d'Ivoire 2023

Exercice 4 — Formule de Moivre et trigonométrie

1. En utilisant la formule de Moivre, développer (cos $\theta$ + i sin $\theta$${)}^3$ et en déduire les expressions de cos(3$\theta$) et sin(3$\theta$) en fonction de cos $\theta$ et sin $\theta$.
2. À partir de l'expression de cos(3$\theta$) obtenue à la question 1, et en posant x = cos $\theta$, montrer que :
   cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$
3. En déduire une expression de co$s^3$$\theta$ en fonction de cos(3$\theta$) et cos $\theta$ (linéarisation).
4. Calculer l'intégrale I = $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}$ co$s^3$$\theta$ d$\theta$ en utilisant le résultat de la question 3.