قوى، متتاليات ومعيار في ℂ — مسألة شاملة

التمرين 6 — متتالية عقدية، معيار وعمدة

نعتبر العدد العقدي $z_0=1+i$ ونعرف المتتالية $(z_n)$ بالعلاقة التراجعية:

$z_{n+1}=(1+i)\times z_n$، لكل $n\in \mathbb{N}$.

الجزء الأول — دراسة المتتالية

1. اكتب $z_0=1+i$ على الشكل الأسي.
2. بين بالترجع أن $z_n=(\sqrt{2}{)}^n\times e^{in\pi /4}$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
3. استنتج معيار وعمدة $z_n$.
4. ما هي قيم $n$ التي يكون من أجلها $z_n$ عددا حقيقيا؟ وما هي قيم $n$ التي يكون من أجلها $z_n$ تخيليا صرفا؟

الجزء الثاني — مجموع الحدود

نضع $S_n=z_0+z_1+z_2+\dots +z_n$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

5. بين أن $(z_0,z_1,\dots ,z_n)$ متتالية هندسية وحدد أساسها $q$.
6. عبر عن $S_n$ بدلالة $n$، ثم احسب $|S_n|$.
7. حدد الشكل الجبري لـ $S_7$، ثم تحقق من ذلك بحساب مباشر لـ $z_0+z_1+\dots +z_7$.

الجزء الثالث — تأويل هندسي

8. هل النقط $M_n$ التي ألحاقها $z_n$ تقع على دائرة؟ على حلزون؟ علل هندسيا.
9. احسب الزاوية الموجهة $(z_{n+1}-z_n,z_{n+2}-z_{n+1})$ وفسر هندسيا.