تحويلات المستوى العقدي والنقط الثابتة

التمرين 6 — تحويل المستوى والمحل الهندسي

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم أصله O، نعتبر التحويل f الذي يربط كل نقطة M ذات اللحق z بالنقطة M' ذات اللحق z' المعرف بما يلي:

z' = (1 + i)z − 2 + 2i

الجزء A — دراسة التحويل

1. حدد النقط الصامدة لـ f، أي النقط M حيث f(M) = M (z' = z). نرمز بـ F للنقطة الصامدة المحصل عليها.
2. نضع Z = z − $z_F$ و Z' = z' − $z_F$، حيث $z_F$ هو لحق F. بين أن Z' = (1 + i)Z. استنتج الطبيعة الهندسية لـ f (مع تحديد مركز التحويل ونسبته وزاويته).
3. احسب |1 + i| و arg(1 + i). استنتج أن f هو تشابه مباشر. أعط نسبته k وزاويته $\alpha$.

الجزء B — صورة مجموعة

4. حدد صورة الدائرة (C) التي مركزها O وشعاعها 1، ومعادلتها |z| = 1، بواسطة f. أعط معادلة الصورة على الشكل |z' − a| = r وحدد مركزها وشعاعها.
5. لتكن D النقطة ذات اللحق $z_D$ = 2. احسب z'_D = f($z_D$). تحقق أن D' = f(D) تنتمي إلى صورة الدائرة (C).

الجزء C — التكرار

6. نُعرف المتتالية ($z_n$) بـ $z_0$ = 0 و z_{n+1} = (1 + i)$z_n$ − 2 + 2i لكل n $\in$ $\mathbb{N}$. بين أن المتتالية ($Z_n$) المعرفة بـ $Z_n$ = $z_n$ − $z_F$ هي متتالية هندسية يجب تحديد حدها الأول وأساسها.
7. استنتج تعبير $z_n$ بدلالة n. ادرس تقارب المتتالية ($z_n$).