تحويلات هندسية في المستوى العقدي

التمرين 5 — الهندسة في المستوى العقدي

المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر (O, u⃗, v⃗). نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي:

$z_A=2$, $z_B=2i$, $z_C=1+i\sqrt{3}$

الجزء A — دراسة المثلث ABC

1. احسب $|z_B-z_A|$ و $|z_C-z_A|$ و $|z_C-z_B|$.
2. احسب النسبة $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ واستنتج طبيعة المثلث ABC (حدد الزوايا).
3. حدد لحق مركز ثقل G للمثلث ABC.

الجزء B — الدوران والصورة

نعتبر الدوران r الذي مركزه $\Omega$ الذي لحقه $z_{\Omega }=1+i$ وزاويته $\frac{\pi }{2}$.

4. اذكر الصيغة التي تعطي لحق z' صورة نقطة ذات اللحق z بالدوران r.
5. حدد لحق $A^{\prime }=r(A)$ و $B^{\prime }=r(B)$ و $C^{\prime }=r(C)$.
6. بين أن $\Omega$ هي منتصف [AA'] و [BB']. هل هذه مصادفة؟ علل جوابك.

الجزء C — المحل الهندسي

7. ليكن M نقطة لحقها z. نضع $Z=\frac{z-2}{z-2i}$. حدد مجموعة النقط M بحيث يكون Z عددا حقيقيا، ثم مجموعة النقط M بحيث يكون $|Z|=1$.