معادلة من الدرجة الثانية في ℂ وتأويل هندسي

التمرين 3 — معادلة عقدية وهندسة

في المستوى العقدي، نُمثل كل نقطة M بلحقها z.

الجزء A — حل معادلة

1. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة (E) : $z^2-2z+5=0$. نرمز للجذرين بـ $z_1$ و $z_2$ حيث $\text{Im}(z_1)>0$.
2. تحقق أن $z_1+z_2=2$ و $z_1\times z_2=5$ (علاقات Viète).
3. احسب $|z_1|$ و $\arg (z_1)$. استنتج الشكل الأسي لـ $z_1$.

الجزء B — هندسة

نضع A ذات اللحق $z_1$ و B ذات اللحق $z_2$.

4. احسب المسافة $AB=|z_1-z_2|$.
5. حدد لحق النقطة I منتصف القطعة [AB].
6. بين أن المثلث OAB، حيث O هي الأصل، متساوي الساقين. حدد الرأس الأساسي.