معادلات عقدية وتطبيقات هندسية في المستوى

التمرين 3 — معادلات عقدية وهندسة

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O, ū, v̄). نربط بكل نقطة M ذات الإحداثيات (x, y) العدد العقدي $z=x+iy$.

الجزء A — حل المعادلات

1. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^2+(2-2i)z+(-1+6i)=0$.
ابحث عن حل على شكل $a+bi$ حيث $a,b\in \mathbb{Z}$.

2. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^4-16=0$. أعط جميع الحلول على الشكل الأسي والجبري.

الجزء B — الهندسة في المستوى العقدي

نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي $z_A=-1+i$ و $z_B=3+i$ و $z_C=1+3i$.

3. احسب AB و AC و BC (المسافات). هل المثلث ABC متساوي الساقين؟ متساوي الأضلاع؟

4. نضع $\omega =\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$. احسب $\omega$ على الشكل الجبري، ثم حدد $|\omega |$ و $\arg (\omega )$.
فسر هندسيا هذه النتائج بدلالة الأطوال والزاوية.

5. استنتج الطبيعة الدقيقة للمثلث ABC.