Exercice 1 — Forme algébrique et module On considère les nombres complexes z 1 = 3 + 4 i et z 2 = 1 − 2 i . Calculer z 1 + z 2 , z 1 − z 2 et z 1 × z 2 . Donner les résultats sous forme algébrique. Calculer le conjugué z 1 de z 1 , puis vérifier que z 1 × z 1 = ∣ z 1 ∣ 2 . Calculer le quotient z 1 ÷ z 2 sous forme algébrique a + bi avec a , b ∈ R . Déterminer ∣ z 1 ∣ , ∣ z 2 ∣ et ∣ z 1 ÷ z 2 ∣ . Vérifier que ∣ z 1 ÷ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ÷ ∣ z 2 ∣ .

z₁=3+4i, z₂=1-2i : conjugué et relation |z|²= z·z̄

Facile Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_{1} = 3 + 4 i$ et $z_{2} = 1 - 2 i$ .

Calculer $z_{1} + z_{2}$ , $z_{1} - z_{2}$ et $z_{1} \times z_{2}$ . Donner les résultats sous forme algébrique.
Calculer le conjugué $\overline{z_{1}}$ de $z_{1}$ , puis vérifier que $z_{1} \times \overline{z_{1}} = ∣ z_{1} ∣^{2}$ .
Calculer le quotient $z_{1} \div z_{2}$ sous forme algébrique $a + bi$ avec $a, b \in R$ .
Déterminer $∣ z_{1} ∣$ , $∣ z_{2} ∣$ et $∣ z_{1} \div z_{2} ∣$ . Vérifier que $∣ z_{1} \div z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \div ∣ z_{2} ∣$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, regroupe simplement les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble. Par exemple, $(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i$.

2 Indice 2

Pour multiplier $z_1 \times z_2$, développe comme un produit classique $(3+4i)(1-2i)$ en n'oubliant pas que $i^2 = -1$. Pour le quotient, multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $z_2$, soit $\overline{z_2} = 1+2i$.

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Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, regroupe simplement les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble. Par exemple, $(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$ .

Pour multiplier $z_{1} \times z_{2}$ , développe comme un produit classique $(3 + 4 i) (1 - 2 i)$ en n'oubliant pas que $i^{2} = - 1$ . Pour le quotient, multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $z_{2}$ , soit $\overline{z_{2}} = 1 + 2 i$ .

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