الدالة الأسية العقدية، حساب المثلثات والمتتاليات الهندسية العقدية

Difficile Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 6 — الشكل الأسي، حساب المثلثات والمتتالية العقدية

الجزء A — التحويل الخطي والصيغ المثلثية

باستخدام صيغة أويلر $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ , عبر عن $cos^{3} θ$ بدلالة $cos (3 θ)$ و $cos θ$ . (سنستخدم نشر $(e^{i θ} + e^{- i θ})^{3}$ .).
بنفس الطريقة، عبر عن $sin^{2} θ \times cos θ$ بدلالة $sin (3 θ)$ و $sin θ$ .

الجزء B — متتالية هندسية عقدية

نعتبر المتتالية $(z_{n})$ المعرفة بـ $z_{0} = 1$ ولكل عدد صحيح طبيعي $n \in N$ :

$z_{n + 1} = (1 + i) \times z_{n}$

بين أن $(z_{n})$ متتالية هندسية أساسها $q = 1 + i$ . حدد $∣ q ∣$ و $ar g (q)$ .
عبر عن $z_{n}$ بدلالة $n$ . أعط الشكل الأسي لـ $z_{n}$ ، ثم شكلها الجبري.
بين أنه لكل $n \in N$ : $∣ z_{n} ∣ = 2^{n /2}$ و $ar g (z_{n}) = \frac{nπ}{4}$ (بترديد $2 π$ ).
حدد أصغر عدد صحيح $n \geq 1$ بحيث يكون $z_{n}$ عددا حقيقيا سالبا قطعا. احسب قيمة $z_{n}$ الموافقة.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من أجل الجزء أ، اكتب $2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}$، ارفع إلى المكعب وطور باستعمال ثنائي نيوتن، ثم اجمع الحدود المرافقة.

2 الإرشاد 2

من أجل السؤال 2، اتبع نفس الطريقة مع $2i\sin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}$ مرفوعا للمربع مضروبا في $2\cos\theta$، وحدد الجزء الحقيقي.

3 الإرشاد 3

من أجل الجزء ب، أثبت أن $\frac{z_{n+1}}{z_n}$ ثابت لتبرير الطابع الهندسي، ثم استعمل الشكل المثلثي لـ $1+i$ لإيجاد معيار وعمدة $z_n=(1+i)^n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

من أجل الجزء أ، اكتب $2 cos θ = e^{i θ} + e^{- i θ}$ ، ارفع إلى المكعب وطور باستعمال ثنائي نيوتن، ثم اجمع الحدود المرافقة.

من أجل السؤال 2، اتبع نفس الطريقة مع $2 i sin θ = e^{i θ} - e^{- i θ}$ مرفوعا للمربع مضروبا في $2 cos θ$ ، وحدد الجزء الحقيقي.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points