التمرين 4 — الجذور التكعيبية والهندسة العقدية في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, ū, v̄)، نعتبر النقط A و B و C ذات الألحاق على التوالي z A و z B و z C . حل في C المعادلة z 3 = − 8 . عبر عن الجذور الثلاثة على الشكل الأسي والجبري. نعتبر z 0 = − 2 و z 1 و z 2 هي الجذور الثلاثة التي تم إيجادها. مثل النقط A و B و C ذات الألحاق z 0 و z 1 و z 2 في المستوى العقدي. ما هي طبيعة المثلث ABC؟ علل إجابتك باستخدام المعايير والعمد. احسب z 0 + z 1 + z 2 . فسر هندسيا هذه النتيجة (ماذا يمكنك أن تقول عن مركز ثقل المثلث ABC؟). لتكن D النقطة ذات اللحق z D = z 1 × z 2 . احسب z D على الشكل الجبري. بين أن D هي منتصف [AC] إذا وفقط إذا كان z A + z C = 2 z D . تحقق مما إذا كان هذا الشرط محققًا أم لا.

الجذور التكعيبية والهندسة في المستوى العقدي

Intermédiaire Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — الجذور التكعيبية والهندسة العقدية

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, ū, v̄)، نعتبر النقط A و B و C ذات الألحاق على التوالي $z_{A}$ و $z_{B}$ و $z_{C}$ .

حل في $C$ المعادلة $z^{3} = - 8$ . عبر عن الجذور الثلاثة على الشكل الأسي والجبري.
نعتبر $z_{0} = - 2$ و $z_{1}$ و $z_{2}$ هي الجذور الثلاثة التي تم إيجادها. مثل النقط A و B و C ذات الألحاق $z_{0}$ و $z_{1}$ و $z_{2}$ في المستوى العقدي. ما هي طبيعة المثلث ABC؟ علل إجابتك باستخدام المعايير والعمد.
احسب $z_{0} + z_{1} + z_{2}$ . فسر هندسيا هذه النتيجة (ماذا يمكنك أن تقول عن مركز ثقل المثلث ABC؟).
لتكن D النقطة ذات اللحق $z_{D} = z_{1} \times z_{2}$ . احسب $z_{D}$ على الشكل الجبري. بين أن D هي منتصف [AC] إذا وفقط إذا كان $z_{A} + z_{C} = 2 z_{D}$ . تحقق مما إذا كان هذا الشرط محققًا أم لا.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour résoudre $z^3 = -8$, commence par écrire $-8$ sous forme exponentielle : $-8 = 8e^{i\pi}$. Ensuite, utilise la formule des racines $n$-ièmes pour trouver les trois solutions avec $k \in \{0, 1, 2\}$.

2 الإرشاد 2

Les trois racines ont toutes le même module $r = \sqrt[3]{8} = 2$. Leurs arguments sont espacés de $\dfrac{2\pi}{3}$ : calcule $\dfrac{\pi + 2k\pi}{3}$ pour $k=0, 1, 2$, puis convertis chaque forme exponentielle en forme algébrique.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour résoudre $z^{3} = - 8$ , commence par écrire $- 8$ sous forme exponentielle : $- 8 = 8 e^{iπ}$ . Ensuite, utilise la formule des racines $n$ -ièmes pour trouver les trois solutions avec $k \in {0, 1, 2}$ .

Les trois racines ont toutes le même module $r = 38 = 2$ . Leurs arguments sont espacés de $\frac{2 π}{3}$ : calcule $\frac{π + 2 k π}{3}$ pour $k = 0, 1, 2$ , puis convertis chaque forme exponentielle en forme algébrique.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

معادلة من الدرجة الثانية في ℂ وجذورها العقدية كل تمارين الدرس الشكل المثلثي للعدد z = 1 + i وحساب z⁸

الجذور التكعيبية والهندسة في المستوى العقدي

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

الجذور التكعيبية والهندسة في المستوى العقدي

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯