الشكل المثلثي للعدد z = 1 + i وحساب z⁸

التمرين 3 — الشكل المثلثي وصيغة موافر

نعتبر العدد العقدي $z=1+i$.

1. حدد معيار $z$ وهو $|z|$ وعمدة $\theta$ لـ $z$. استنتج الشكل المثلثي ثم الشكل الأسي لـ $z$.
2. باستخدام صيغة موافر، عبر عن $z^8$ على الشكل الجبري. تحقق من هذه النتيجة بواسطة حساب مباشر.
3. نضع $w=\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$. احسب $|w|$ و $\arg (w)$. استنتج الشكل الأسي لـ $w$، ثم عبر عن $w$ على الشكل الجبري وتحقق من التوافق.
4. بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n$، لدينا:
   $\text{Re}((1+i{)}^n)=2^{n/2}\times \cos \left(\frac{n\pi }{4}\right)$
   واستنتج قيمة $\text{Re}((1+i{)}^{10})$.