تحويلات هندسية ومجموعة النقط في ℂ

التمرين 5 — تحويل هندسي عقدي

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, ū, v̄)، نعتبر التحويل f الذي يربط كل نقطة M ذات اللحق z (z $\ne$ i) بالنقطة M' ذات اللحق z' المعرف بما يلي:

$z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$

1. بين أن f معرفة جيدا لكل $z\in \mathbb{C}$ حيث $z\ne i$. احسب لحق النقطة صورة A (ذات اللحق 0)، B (ذات اللحق 1)، C (ذات اللحق −1) و D (ذات اللحق 2i).
2. حدد مجموعة النقط M ذات اللحق z بحيث يكون $z^{\prime }$ عددا حقيقيا. عبر عن الشرط بدلالة الجزأين الحقيقي والتخيلي لـ z.
3. حدد مجموعة النقط M ذات اللحق z بحيث $|z^{\prime }|=1$. بين أن هذه المجموعة هي دائرة يجب تحديد مركزها وشعاعها.
4. نضع $z=x+iy$ حيث $x,y\in \mathbb{R}$. بين أنه إذا كان $z^{\prime }=a+bi$، فإن :
   $a=\frac{x^2+y^2+x-y-1+\dots }{\dots }$
   (أنجز الحساب الكامل للجزء الحقيقي لـ z' بدلالة x و y.)
   استنتج النقط الصامدة لـ f، أي النقط M بحيث $z^{\prime }=z$.