الأعداد العقدية: الجذور التكعيبية والمتتاليات والهندسة

التمرين 3 — جذور الوحدة، متتالية عقدية ومحل هندسي

نرمز $j=e^{2i\pi /3}$.

1. الجزء A — الجذور التكعيبية للوحدة

   1. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^3=1$. نرمز للجذور الثلاثة بـ $1$، $j$ و $j^2$.
   2. أثبت أن $j^2=e^{-2i\pi /3}$، ثم اكتب $j$ و $j^2$ في الشكل الجبري.
   3. أثبت أن $1+j+j^2=0$. استنتج قيمة $(1+j)(1+j^2)$.
   4. احسب المعيار وعمدة $\frac{j-1}{j+1}$، مع تبرير كل خطوة بعناية.

2. الجزء B — متتالية أعداد عقدية

   نعرف المتتالية $(z_n)$ بـ: $z_0=1$ و، لكل عدد صحيح $n\in \mathbb{N}$، $z_{n+1}=(1+i\sqrt{3})\times z_n+2$.

   1. أثبت أن المتتالية $(z_n-a)$ هندسية، حيث $a$ عدد عقدي يجب تحديده (نبحث عن $a$ بحيث $z_{n+1}-a=(1+i\sqrt{3})(z_n-a)$).
   2. عبر عن $z_n$ بدلالة $n$.
   3. احسب $|z_n|$ و $\arg (z_n-a)$ لكل $n\in \mathbb{N}$. ماذا يمكن أن نقول عن المتتالية $(|z_n|)$؟

3. الجزء C — محل هندسي

   في المستوى العقدي المزود بمعلم متعامد ومتجانس مباشر $(O,\vec{u},\vec{v})$، نعتبر النقطتين الثابتتين $A$ و $B$ ذات اللواحق على التوالي $z_A=2$ و $z_B=2i$. لنقطة $M$ ذات لاحقة $z\in \mathbb{C}$ (مع $z\ne 2$ و $z\ne 2i$)، نضع:

   $Q=\frac{z-2i}{z-2}$

   1. أثبت أن $Q$ عدد حقيقي إذا وفقط إذا كانت $M$ تنتمي إلى مستقيم $\Delta$ يجب تحديده.
   2. أثبت أن $|Q|=1$ إذا وفقط إذا كانت $M$ تنتمي إلى دائرة $\mathcal{C}$ يجب تحديدها (المركز ونصف القطر).
   3. حدد مجموعة النقط $M$ بحيث $\arg (Q)=\frac{\pi }{2}$ (modulo $2\pi$). ما هو الشكل الهندسي الذي نحصل عليه؟