الأعداد العقدية: الشكل الجبري ومعادلة من الدرجة الثانية

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعادلات في $\mathbb{C}$

نعتبر العدد العقدي $z_0=3-4i$.

1. الجزء A — حسابات أساسية

   1. حدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد $z_0$.
   2. احسب المعيار $|z_0|$ والمرافق ${\bar{z}}_0$.
   3. احسب $z_0\times {\bar{z}}_0$ وتحقق أن النتيجة متناسقة مع تعريف المعيار.

2. الجزء B — الخارج

   ليكن العدد العقدي $w=\frac{2+i}{z_0}$.

   1. اكتب $w$ على الشكل الجبري $a+bi$، حيث $a,b\in \mathbb{R}$.
   2. احسب $|w|$ باستخدام خاصيات المعيار (دون العودة إلى الشكل الجبري).

3. الجزء C — معادلة من الدرجة الثانية

   نعتبر المعادلة في $\mathbb{C}$ : $z^2-6z+25=0$.

   1. احسب مميز المعادلة $\Delta$.
   2. حل المعادلة في $\mathbb{C}$ وعبر عن الحلول على الشكل الجبري.
   3. تحقق أن $z_0=3-4i$ هو أحد الحلول.