التمرين 2 — الشكل الأسي والتأويل الهندسي في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, u⃗ , v⃗ )، نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي: z A = 1 + i 3 z B = 3 + i z C = − 2 الجزء A — الأشكال الأسية اكتب z A و z B على الشكل الأسي r ⋅ e i θ ، حيث r > 0 و θ ∈ ] − π ; π ] . استنتج الشكل الأسي للجداء z A × z B ، ثم تحقق أن z A × z B = z C . الجزء B — العمدة والزاوية الهندسية نضع Z = z B − z A z C − z A . احسب z C − z A و z B − z A . احسب معيار وعمدة للعدد Z . أول هندسيا معيار وعمدة Z بدلالة الأطوال والزاوية في المثلث ABC. الجزء C — صيغة Moivre والمبرهنة الخطية باستخدام صيغة Moivre، انشر ( cos θ + i sin θ ) 3 بطريقتين مختلفتين. استنتج تعبيري cos ( 3 θ ) و sin ( 3 θ ) بدلالة cos θ و sin θ . احسب القيمة المضبوطة لـ cos ( π /9 ) × [ 4 cos 2 ( π /9 ) − 3 ] باستخدام النتيجة السابقة.

الأعداد العقدية: الشكل الأسي، المعيار والعمدة والهندسة

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 2 — الشكل الأسي والتأويل الهندسي

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O, u⃗, v⃗)، نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي:

$z_{A} = 1 + i 3$
$z_{B} = 3 + i$
$z_{C} = - 2$

الجزء A — الأشكال الأسية
1. اكتب $z_{A}$ و $z_{B}$ على الشكل الأسي $r \cdot e^{i θ}$ ، حيث $r > 0$ و $θ \in] - π; π]$ .
2. استنتج الشكل الأسي للجداء $z_{A} \times z_{B}$ ، ثم تحقق أن $z_{A} \times z_{B} = z_{C}$ .
الجزء B — العمدة والزاوية الهندسية
نضع $Z = \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ .
1. احسب $z_{C} - z_{A}$ و $z_{B} - z_{A}$ .
2. احسب معيار وعمدة للعدد $Z$ .
3. أول هندسيا معيار وعمدة $Z$ بدلالة الأطوال والزاوية في المثلث ABC.
الجزء C — صيغة Moivre والمبرهنة الخطية
1. باستخدام صيغة Moivre، انشر $(cos θ + i sin θ)^{3}$ بطريقتين مختلفتين.
2. استنتج تعبيري $cos (3 θ)$ و $sin (3 θ)$ بدلالة $cos θ$ و $sin θ$ .
3. احسب القيمة المضبوطة لـ $cos (π /9) \times [4 cos^{2} (π /9) - 3]$ باستخدام النتيجة السابقة.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour passer à la forme exponentielle $r\,e^{i\theta}$, commence par calculer le module $r = |z|$ avec la formule $\sqrt{x^2 + y^2}$, puis identifie l'angle $\theta$ en cherchant les valeurs de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ à partir des parties réelle et imaginaire divisées par $r$.

2 الإرشاد 2

Pour la partie B, remarque que $Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un quotient de complexes : son module est le quotient des modules $|Z| = \dfrac{|z_C - z_A|}{|z_B - z_A|}$ et son argument est la différence des arguments $\arg(Z) = \arg(z_C - z_A) - \arg(z_B - z_A)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour passer à la forme exponentielle $r e^{i θ}$ , commence par calculer le module $r = ∣ z ∣$ avec la formule $x^{2} + y^{2}$ , puis identifie l'angle $θ$ en cherchant les valeurs de $cos θ$ et $sin θ$ à partir des parties réelle et imaginaire divisées par $r$ .

Pour la partie B, remarque que $Z = \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ est un quotient de complexes : son module est le quotient des modules $∣ Z ∣ = \frac{∣ z _{C} - z _{A} ∣}{∣ z _{B} - z _{A} ∣}$ et son argument est la différence des arguments $ar g (Z) = ar g (z_{C} - z_{A}) - ar g (z_{B} - z_{A})$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

z₁=3+4i و z₂=1-2i: المعيار وخاصية |z₁z₂| كل تمارين الدرس الشكل المثلثي لعدد عقدي

الأعداد العقدية: الشكل الأسي، المعيار والعمدة والهندسة

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

الأعداد العقدية: الشكل الأسي، المعيار والعمدة والهندسة

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯