صيغة موافر، الخطية والجذور التكعيبية

التمرين 4 — صيغة موافر والجذور التكعيبية للوحدة

الجزء الأول — صيغة موافر

1. باستخدام صيغة موافر، أنشر (cos $\theta$ + i sin $\theta$${)}^3$ بطريقتين مختلفتين، ثم استنتج تعبيري cos(3$\theta$) و sin(3$\theta$) بدلالة cos $\theta$ و sin $\theta$.
2. استنتج أن cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos$\theta$.

الجزء الثاني — الجذور التكعيبية للوحدة

3. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^3$ = 1. سنرمز للجذور الثلاثة بـ $\omega$₀، $\omega$₁، $\omega$₂ على شكلها الأسي.
4. اكتب $\omega$₁ و $\omega$₂ على شكلهما الجبري. تحقق أن $\omega$₁ + $\omega$₂ = −1 و $\omega$₁ $\times$ $\omega$₂ = 1.
5. بين أن 1 + $\omega$₁ + $\omega$₂ = 0. فسر هندسيا هذه النتيجة.